Проблема Джонса для узлов на 4 нитях, 29.02.2024, Д. Корзун, Е. Ланина, А. Слепцов

Мы обсудим новые подходы к проблеме Джонса -- вопросе о существовании нетривиального узла с тривиальным многочленом Джонса от одной переменной q. Было доказано, что полиномы Джонса для нетривиальных узлов на 2 и 3 нитях не равны единице. Вопрос о случае 4 нитей остаётся открытым, его мы и будем исследовать.
Мы обсудим, какие условия накладываются на полином ХОМФЛИ-ПТ (обобщающий полином Джонса полиномиальный инвариант от двух переменных A,q) при требовании его нетривиальности и тривиальности полинома Джонса для искомого узла на 4 нитях. Мы предъявим целый класс гипотетических полиномов ХОМФЛИ-ПТ. Мы приведем несколько подтверждений, что найденные полиномы действительно могут отвечать полиномам ХОМФЛИ-ПТ некоторых (пока что не известных нам) узлов. Во-первых, мы исследуем характеристическое, дифференциальное и пертурбативное разложения найденных полиномов. Во-вторых, мы приведем проверку на существование R-матричного представления гипотетической косы, и эта проверка окажется достаточно ограничительной. В-третьих, мы обсудим подход к поиску узлов с найденными гипотетическими полиномами ХОМФЛИ-ПТ с помощью представления косы через положительную косу и топологическую накрутку